W4. Схемы сумматоров и вычитателей, комбинационная логика, логические вентили

Автор

Artem Burmyakov

Дата публикации

26 сентября 2025 г.

Quiz | Flashcards

1. Краткое содержание

1.1 Основы цифровой логики
1.1.1 Транзисторы — кирпичики вентилей

На самом нижнем уровне вентили строят из transistors — полупроводниковых ключей/усилителей. Обычно три вывода:

  • Base: управляющий вывод; небольшое напряжение (логическая «1») на Base «замыкает» ключ.
  • Collector: вход силового тока.
  • Emitter: выход силового тока.

При подаче напряжения на Base через кристалл течёт гораздо больший ток от Collector к Emitter; без напряжения на Base (логический «0») ток не идёт. Такое ключевое поведение — основа реализации вентилей AND, OR и NOT.

1.1.2 Булевы функции и логические вентили

Boolean Function — логическая операция над двоичными входами с одним двоичным выходом. Logic Gate — физическая реализация такой операции.

Базовый набор:

  • AND: 1 только если все входы 1.
  • OR: 1 если хотя бы один вход 1.
  • NOT: инверсия единственного входа (1 становится 0, 0 — 1).
  • XOR (Exclusive OR): 1 только при различных входах.
  • NAND (NOT-AND): инверсия AND; universal gate — из одних NAND строится любая логика.
  • NOR (NOT-OR): тоже универсальный вентиль.

1.1.3 Логические схемы и интегральные схемы

Logic Circuit — соединение вентилей для более сложной функции. Discrete circuit собирается из отдельных компонентов; Integrated Circuit (IC) — микросхема с огромным числом элементов на одном кристалле.

Преимущества ИС перед дискретной сборкой:

  • Compact Size — много функций на малой площади.
  • Higher Performance — короче пути сигналов, меньше propagation delay.
  • Lower Cost — массовое производство.
1.2 Двоичная арифметика и схемы
1.2.1 Сложение двоичных разрядов

При сложении двух битов:

  • \(0 + 0 = 0\)
  • \(0 + 1 = 1\)
  • \(1 + 0 = 1\)
  • \(1 + 1 = 0\) с carry (переносом) 1 в следующий разряд.

Для многоразрядных чисел сложение начинается с Least Significant Bit (LSB) (правого бита) и идёт к Most Significant Bit (MSB) (левому); перенос из каждого разряда учитывается в следующем, более значимом разряде. Этот механизм carry — ключевой принцип схем сумматоров.

1.2.2 Схемы сумматоров
  • Half-Adder: складывает два однобитовых входа и даёт Sum (S) и Carry-Out (Cout); сумма через XOR, перенос через AND; carry-in не принимает — подходит только для позиции LSB.
  • Full-Adder: три бита (A, B, carry-in Cin) → Sum и Cout; нужен для всех старших разрядов.
  • Ripple-Carry Adder: цепочка full-adder’ов, где Cout предыдущего подаётся на Cin следующего; перенос «распространяется» по цепочке.
1.2.3 Схемы вычитателей
  • Half-Subtractor: два бита → Difference (D) и Borrow-Out (Bout); без borrow-in.
  • Full-Subtractor: три бита (A, B, borrow-in Bin) → Difference и Borrow-Out.
  • Multi-bit Subtractor: цепочка full-subtractor’ов, Bout → Bin следующего каскада.
1.3 Комбинационные логические схемы
1.3.1 Основные свойства

У combinational logic circuits такие свойства:

  1. Output depends only on current inputs: памяти нет — выход в каждый момент однозначно задаётся текущими значениями входов.
  2. Comprised of logic gates and wires: схема собирается из вентилей (AND, OR, NOT и т.д.) и соединений.
  3. Subject to propagation delay: выход не мгновенен — после изменения входов проходит конечная задержка (propagation delay).
  4. No memory units: нет регистров и других элементов, хранящих состояние.
  5. Typically no clock signal: работа asynchronous — схема реагирует на входы напрямую, без синхронизации тактом.
1.3.2 Propagation delay и critical path
  • Propagation Delay: время от изменения входа до стабильного изменения выхода; каждый вентиль вносит задержку.
  • Critical Path: путь от входа к выходу с максимальной суммарной задержкой; он ограничивает максимальную рабочую частоту схемы — новые входы нельзя подавать быстрее, чем позволяет critical path.

1.3.3 Доказательство эквивалентности схем

Два варианта:

  1. Truth Tables: если столбцы выходов совпадают на всех входах — схемы эквивалентны.
  2. Boolean Algebra: записать выражения и преобразовать законами (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, законы де Моргана) к одной форме.
1.4 Логические схемы в CPU

В CPU используются разные классы схем:

  • Combinational Logic Circuits: типичный пример — Arithmetic Logic Unit (ALU); выполняет арифметику (сложение, вычитание) и логику (AND, OR). Комбинационные схемы здесь быстрые, но не синхронизируют приход входов.
  • Sequential Logic Circuits: есть память и такт; Registers — последовательные схемы, которые временно хранят данные: они фиксируют входы для ALU на такте и выдают их одновременно, чтобы расчёт был корректным и стабильным. Control Unit (CU) — тоже сложная схема, не сводимая к чисто комбинационной.

2. Определения

  • Transistor: полупроводниковый ключ — физическая основа вентилей.
  • Boolean Function: функция с двоичными входами и одним двоичным выходом.
  • Logic Gate: устройство, реализующее элементарную булеву функцию.
  • Combinational Logic Circuit: выход однозначно определяется текущими входами.
  • Sequential Logic Circuit: выход зависит от входов и предыдущего состояния (память); пример — регистры.
  • Least Significant Bit (LSB): младший (правый) бит.
  • Most Significant Bit (MSB): старший (левый) бит.
  • Half-Adder: сумматор двух битов без входа переноса.
  • Full-Adder: сумматор двух битов с carry-in.
  • Half-Subtractor: вычитатель двух битов без входа займа.
  • Full-Subtractor: вычитатель с borrow-in.
  • Propagation Delay: задержка реакции выхода на изменение входа.
  • Critical Path: путь с максимальной суммарной задержкой, задающий предел быстродействия.